Sens de variation
Fonctions croissantes et decroissantes : definitions, tableaux, applications
Definitions
Fonction croissante
Une fonction f est croissante sur un intervalle I si :
Pour tous a, b ∈ I :
a < b ⟹ f(a) < f(b)
Quand x augmente, f(x) augmente aussi.
Fonction decroissante
Une fonction f est decroissante sur un intervalle I si :
Pour tous a, b ∈ I :
a < b ⟹ f(a) > f(b)
Quand x augmente, f(x) diminue.
Fonction constante
Une fonction f est constante sur un intervalle I si f(x) garde la même valeur pour tout x de I.
Interpretation graphique
Croissante : la courbe "monte" de gauche a droite ↗
Decroissante : la courbe "descend" de gauche a droite ↘
Tableau de variations
Definition
Le tableau de variations résumé le sens de variation d'une fonction sur son ensemble de definition. Il indique les intervalles ou la fonction est croissante (↗) ou decroissante (↘).
Exemple 1 : Fonction carree
Tableau de variations de f(x) = x² :
| x | -∞ | 0 | +∞ | ||
| f(x) | +∞ | ↘ | 0 | ↗ | +∞ |
- • Sur ]-∞ ; 0] : f est decroissante
- • Sur [0 ; +∞[ : f est croissante
- • Minimum : f(0) = 0
Exemple 2 : Fonction inverse
Tableau de variations de f(x) = 1/x :
| x | -∞ | 0 | +∞ | ||
| f(x) | 0⁻ | ↘ | || | ↘ | 0⁺ |
- • Sur ]-∞ ; 0[ : f est decroissante
- • Sur ]0 ; +∞[ : f est decroissante
- • || signifie "non defini en 0"
Comparer des images
Méthode
Pour comparer f(a) et f(b), on utilise le sens de variation :
1. Verifier que a et b sont dans le même intervalle de monotonie
2. Comparer a et b
3. Appliquer le sens de variation :
- • Si f croissante : a < b ⟹ f(a) < f(b)
- • Si f decroissante : a < b ⟹ f(a) > f(b)
Exemple 3 : Comparaison avec la fonction carree
Comparer 2.5² et 3.1² :
2.5 et 3.1 sont positifs, donc dans [0 ; +∞[ ou f(x) = x² est croissante.
Comme 2.5 < 3.1, on a 2.5² < 3.1².
Comparer (-3.7)² et (-2.4)² :
-3.7 et -2.4 sont negatifs, donc dans ]-∞ ; 0] ou f(x) = x² est decroissante.
Comme -3.7 < -2.4, on a (-3.7)² > (-2.4)².
Attention aux changements de signe !
Pour comparer (-2)² et 3², on ne peut pas utiliser directement le sens de variation car -2 et 3 ne sont pas dans le même intervalle de monotonie.
Solution : calculer directement (-2)² = 4 et 3² = 9, donc (-2)² < 3².
Fonctions de reference
| Fonction | Variations sur ]-∞ ; 0] | Variations sur [0 ; +∞[ |
|---|---|---|
| f(x) = x | ↗ Croissante | ↗ Croissante |
| f(x) = x² | ↘ Decroissante | ↗ Croissante |
| f(x) = 1/x | ↘ Decroissante (sur ]-∞;0[) | ↘ Decroissante (sur ]0;+∞[) |
| f(x) = √x | Non definie | ↗ Croissante |
Points cles a retenir
- Croissante : a < b ⟹ f(a) < f(b) (l'ordre est conserve)
- Decroissante : a < b ⟹ f(a) > f(b) (l'ordre est inverse)
- Le tableau de variations résumé le comportement de la fonction
- Pour comparer f(a) et f(b), verifier qu'ils sont dans le même intervalle
