Extremums
Maximum et minimum d'une fonction : definitions, lecture graphique, determination
Definitions
Maximum
f admet un maximum M sur un intervalle I s'il existe x₀ ∈ I tel que :
Pour tout x ∈ I : f(x) ≤ f(x₀)
M = f(x₀)
Le maximum est la plus grande valeur atteinte par f.
Minimum
f admet un minimum m sur un intervalle I s'il existe x₀ ∈ I tel que :
Pour tout x ∈ I : f(x) ≥ f(x₀)
m = f(x₀)
Le minimum est la plus petite valeur atteinte par f.
Vocabulaire
- • Un extremum est un maximum ou un minimum.
- • On dit que "f atteint son maximum en x₀" ou "le maximum est atteint pour x = x₀".
- • La valeur x₀ est l'abscisse de l'extremum, f(x₀) est l'ordonnee (la valeur de l'extremum).
Remarque importante
Une fonction peut ne pas avoir d'extremum sur son ensemble de definition. Par exemple, la fonction f(x) = x n'a ni maximum ni minimum sur ℝ.
Lecture graphique
Méthode
Sur une courbe representative, les extremums correspondent aux points les plus hauts (maximum) ou les plus bas (minimum).
- • Maximum : sommet le plus haut de la courbe
- • Minimum : sommet le plus bas de la courbe
- • Lire l'abscisse (valeur de x) et l'ordonnee (valeur de f(x))
Exemple 1 : Fonction carree
Pour f(x) = x² sur ℝ :
- • Le point le plus bas de la parabole est le sommet S(0 ; 0)
- • Minimum : f(0) = 0, atteint en x = 0
- • Maximum : il n'y en a pas (la courbe monte vers +∞)
Conclusion : La fonction carree admet un minimum egal a 0, atteint en x = 0.
Exemple 2 : Fonction inverse
Pour f(x) = 1/x sur ℝ* :
- • La courbe ne presente aucun sommet
- • Sur ]0 ; +∞[ : f(x) peut être aussi grand ou aussi petit que l'on veut (mais strictement positif)
- • Sur ]-∞ ; 0[ : f(x) peut être aussi grand ou aussi petit que l'on veut (mais strictement negatif)
Conclusion : La fonction inverse n'admet ni maximum ni minimum sur ℝ*.
Lien avec le tableau de variations
Propriete fondamentale
Dans un tableau de variations, les extremums se trouvent aux changements de sens de variation :
Maximum
Passage de ↗ a ↘
(la fonction monte puis descend)
Minimum
Passage de ↘ a ↗
(la fonction descend puis monte)
Exemple 3 : Lecture dans un tableau de variations
Soit le tableau de variations suivant :
| x | -3 | 1 | 5 | ||
| f(x) | -2 | ↗ | 7 | ↘ | 1 |
Sur l'intervalle [-3 ; 5] :
- • Maximum : f(1) = 7, atteint en x = 1
- • Minimum : f(-3) = -2, atteint en x = -3 (bord de l'intervalle)
Attention : les extremums peuvent aussi être aux bornes de l'intervalle d'etude !
Exercice type
Exemple 4 : Determiner les extremums
Enonce : Soit f(x) = -x² + 4x - 1 definie sur [0 ; 5]. Determiner les extremums de f.
Étape 1 : Reconnaître la forme
f(x) = -x² + 4x - 1 est de la forme ax² + bx + c avec a = -1 < 0.
C'est une parabole tournee vers le bas.
Étape 2 : Trouver le sommet
x₀ = -b/(2a) = -4/(2×(-1)) = 2
f(2) = -(2)² + 4×2 - 1 = -4 + 8 - 1 = 3
Étape 3 : Calculer aux bornes
f(0) = -0 + 0 - 1 = -1
f(5) = -25 + 20 - 1 = -6
Conclusion :
- • Maximum : f(2) = 3, atteint en x = 2
- • Minimum : f(5) = -6, atteint en x = 5
Points cles a retenir
- Maximum : plus grande valeur de f(x) sur l'intervalle
- Minimum : plus petite valeur de f(x) sur l'intervalle
- Dans le tableau : max en ↗→↘, min en ↘→↗
- Ne pas oublier de verifier les bornes de l'intervalle !
