Fonction carree
Etude complète de la fonction x → x² : parabole, variations, proprietes
Definition et proprietes
Definition
La fonction carree est la fonction f definie sur ℝ par :
f(x) = x²
Ensemble de definition
Df = ℝ (tous les reels)
Signe
x² ≥ 0 pour tout x (toujours positif ou nul)
Tableau de valeurs
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x² | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Remarque : f(-x) = f(x), les valeurs sont symetriques
La parabole
Courbe representative
La courbe representative de la fonction carree est une parabolede sommet O(0 ; 0) et d'axe de symetrie l'axe des ordonnees.
Symetrie
La parabole est symetrique par rapport a l'axe des ordonnees.
f(-x) = (-x)² = x² = f(x)
Sommet
Le point le plus bas de la parabole est le sommet S(0 ; 0).
C'est le minimum de la fonction.
Sens de variation
Tableau de variations
| x | -∞ | 0 | +∞ | ||
| f(x)=x² | +∞ | ↘ | 0 | ↗ | +∞ |
Sur ]-∞ ; 0]
La fonction carree est decroissante
Si a < b ≤ 0, alors a² > b²
Sur [0 ; +∞[
La fonction carree est croissante
Si 0 ≤ a < b, alors a² < b²
Exemple : Comparer des carres
Comparer 3² et 5² :
3 et 5 sont positifs et 3 < 5, donc 3² < 5² (9 < 25)
Comparer (-4)² et (-2)² :
-4 et -2 sont negatifs et -4 < -2, donc (-4)² > (-2)² (16 > 4)
Points cles a retenir
- f(x) = x² est definie sur ℝ, toujours ≥ 0
- La courbe est une parabole de sommet O(0;0)
- Decroissante sur ]-∞;0], croissante sur [0;+∞[
- Minimum = 0 atteint en x = 0
