Fonction inverse
Etude complète de la fonction x → 1/x : hyperbole, asymptotes, variations
Definition et ensemble de definition
Definition
La fonction inverse est la fonction f definie par :
f(x) = 1/x
Ensemble de definition
On ne peut pas diviser par zero ! La fonction inverse n'est pas definie en x = 0.
Df = ℝ* = ]-∞ ; 0[ ∪ ]0 ; +∞[
Tableau de valeurs
| x | -4 | -2 | -1 | -0.5 | 0.5 | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1/x | -0.25 | -0.5 | -1 | -2 | 2 | 1 | 0.5 | 0.25 |
Remarque : f(-x) = -f(x), les valeurs sont opposees (symetrie centrale)
L'hyperbole et ses asymptotes
Courbe representative
La courbe representative de la fonction inverse est une hyperbolecomposee de deux branches separees par l'axe des ordonnees.
Asymptote verticale
L'axe des ordonnees (x = 0) est une asymptote verticale.
La courbe s'approche de cet axe sans jamais le toucher.
Asymptote horizontale
L'axe des abscisses (y = 0) est une asymptote horizontale.
Quand |x| → +∞, f(x) → 0.
Symetrie centrale
L'hyperbole est symetrique par rapport a l'origine O.
f(-x) = 1/(-x) = -1/x = -f(x)
La fonction inverse est une fonction impaire.
Signe et variations
Signe de 1/x
- • Si x > 0 alors 1/x > 0
- • Si x < 0 alors 1/x < 0
1/x a le même signe que x
Sens de variation
La fonction inverse est strictement decroissante sur chaque intervalle de son ensemble de definition.
Tableau de variations
| x | -∞ | 0 | +∞ | ||
| f(x)=1/x | 0⁻ | ↘ | || | ↘ | 0⁺ |
Le symbole || indique que la fonction n'est pas definie en 0
Exemple : Comparer des inverses
Comparer 1/3 et 1/5 :
3 et 5 sont positifs et 3 < 5.
Comme f est decroissante sur ]0;+∞[, on a 1/3 > 1/5.
Comparer 1/(-2) et 1/(-4) :
-2 et -4 sont negatifs et -4 < -2.
Comme f est decroissante sur ]-∞;0[, on a 1/(-4) > 1/(-2), soit -1/4 > -1/2.
Attention ! On ne peut comparer directement 1/a et 1/b que si a et b sont de même signe.
Points cles a retenir
- f(x) = 1/x est definie sur ℝ* (x ≠ 0)
- La courbe est une hyperbole avec deux asymptotes
- Fonction impaire : symetrie par rapport a O
- Strictement decroissante sur ]-∞;0[ et sur ]0;+∞[
