Leçon 3/6
Somme de vecteurs
Apprendre a additionner des vecteurs avec la relation de Chasles et a construire la somme graphiquement.
La relation de Chasles
Théorème fondamental
Pour tous points A, B et C du plan :
Visualisation
Le vecteur somme AC "court-circuite" le chemin A→B→C
Interpretation
La relation de Chasles dit que faire le deplacement A→B puis B→C revient au même que faire directement A→C.
Astuce memorisation : Le point B "s'annule" car il est a la fois extremite deAB et origine de BC.
Construire la somme de deux vecteurs
Méthode 1 : "Bout a bout"
Pour construire u + v :
- 1Tracer u a partir d'un point A
- 2A partir de l'extremite B, tracer v
- 3La somme est le vecteur allant de A a C
Méthode 2 : Parallelogramme
Pour construire u + v :
- 1Placer u et v a partir du même point O
- 2Completer le parallelogramme
- 3La diagonale issue de O est la somme
Illustration méthode parallelogramme
Vecteur oppose et difference
Definition du vecteur oppose
Le vecteur oppose de u, note −u, est le vecteur qui a :
Propriete
La somme d'un vecteur et de son oppose est le vecteur nul.
Notation
L'oppose de AB est BA.
Difference de deux vecteurs
La difference de deux vecteurs est definie par :
Soustraire un vecteur revient a additionner son oppose.
Exemples d'application
Exemple 1 : Simplifier avec Chasles
Simplifier AB + BC + CD
Resolution :
AB + BC + CD
= AC + CD (Chasles sur AB + BC)
= AD (Chasles sur AC + CD)
Resultat : AB + BC + CD = AD
Exemple 2 : Expression avec le milieu
I est le milieu de [AB]. Exprimer AI en fonction de AB.
Resolution :
Comme I est le milieu de [AB], on a : AI = IB
Par Chasles : AB = AI + IB = AI + AI = 2AI
Donc : AI = (1/2)AB
Exemple 3 : Simplifier une expression
Simplifier MA + BM + AC
Resolution :
Reorganisons : BM + MA + AC (commutativite)
= BA + AC (Chasles sur BM + MA)
= BC (Chasles)
Exemple 4 : Vecteur nul
Montrer que AB + BC + CA = 0
Demonstration :
AB + BC + CA
= AC + CA (Chasles)
= AA (Chasles)
= 0 ✓
A retenir
Relation de Chasles
AB + BC = AC
Le point intermediaire "s'annule"
Vecteur oppose
−AB = BA
u + (−u) = 0
