Leçon 1/6
Definition et notation d'un vecteur
Comprendre ce qu'est un vecteur : ses trois caracteristiques fondamentales et comment le representer.
Qu'est-ce qu'un vecteur ?
Un vecteur est un objet mathematique qui represente un deplacement dans le plan. Contrairement a un simple nombre, un vecteur possede trois caracteristiques essentielles :
1. Direction
La droite sur laquelle se situe le deplacement (horizontale, verticale, oblique...)
2. Sens
Le cote vers lequel on se deplace sur cette droite (gauche/droite, haut/bas...)
3. Norme
La longueur du deplacement (aussi appelee module ou intensite)
Analogie : Imagine que tu donnes des indications a quelqu'un pour se deplacer. "Avance de 5 metres" n'est pas suffisant ! Il faut preciser dans quelle direction et dans quel sens. Le vecteur contient toutes ces informations.
Notation des vecteurs
Vecteur defini par deux points
Si A et B sont deux points, le vecteur allant de A vers B se note :
- A est le point de depart (origine du vecteur)
- B est le point d'arrivee (extremite du vecteur)
- La fleche va toujours de A vers B, jamais l'inverse
Vecteur note avec une lettre
On peut aussi nommer un vecteur avec une seule lettre minuscule :
Cette notation est pratique quand on manipule des vecteurs sans se referer a des points precis.
Attention a l'ordre !
AB et BA sont deux vecteurs differents ! Ils ont la même direction et la même norme, mais des sens opposes.
Representation graphique
Un vecteur se represente par une fleche dans le plan :
Elements de la fleche
- • Origine : point de depart (sans fleche)
- • Extremite : point d'arrivee (avec la pointe)
- • Longueur : represente la norme
A retenir
- • La fleche indique le sens
- • L'inclinaison indique la direction
- • La taille indique la norme
Norme d'un vecteur
Definition
La norme d'un vecteur u est sa longueur. Elle se note avec des doubles barres :
Propriete fondamentale
La norme d'un vecteur AB est egale a la distance AB :
Vecteur nul
Le vecteur nul, note 0, est l'unique vecteur dont la norme est 0.
C'est le vecteur AA : un "deplacement" qui reste sur place !
Exemples concrets
Exemple 1 : Deplacement sur un quadrillage
Sur un quadrillage, le vecteur AB tel que A(1, 2) et B(4, 5) represente un deplacement de :
- • 3 unites vers la droite (4 − 1 = 3)
- • 3 unites vers le haut (5 − 2 = 3)
Direction : oblique 45° | Sens : vers le haut-droite | Norme : √18 ≈ 4.24 unites
Exemple 2 : Vecteurs dans la vie reelle
Vitesse d'un avion
Direction : cap Nord-Est
Sens : vers le Nord-Est
Norme : 800 km/h
Force exercee
Direction : verticale
Sens : vers le bas
Norme : 10 N
Exemple 3 : Identifier les caracteristiques
Soit le vecteur horizontal allant de C(-2, 3) vers D(5, 3) :
- Direction : horizontale (l'ordonnee ne change pas : 3 = 3)
- Sens : vers la droite (l'abscisse augmente : -2 → 5)
- Norme : ‖CD‖ = 5 − (-2) = 7 unites
A retenir
Un vecteur a 3 caracteristiques
- 1. Direction (la droite support)
- 2. Sens (l'orientation sur cette droite)
- 3. Norme (la longueur)
Notations
- • Vecteur : AB ou u
- • Norme : ‖AB‖ = AB
- • Vecteur nul : 0
