Leçon 6/6
Colinearite
Determiner si deux vecteurs sont colineaires et appliquer cette notion a l'alignement et au parallelisme.
Definition de la colinearite
Definition
Deux vecteurs u et v sont colineaires s'ils ont la même direction.
Autrement dit, ils sont portes par des droites paralleles (ou confondues).
Vecteurs colineaires
Meme direction (horizontale)
Vecteurs non colineaires
Directions differentes
Caracterisation avec un reel
Deux vecteurs u et v (avec u ≠ 0) sont colineaires si et seulement s'il existe un nombre reel k tel que :
Le nombre k est le coefficient de colinearite.
Critere du determinant
Théorème fondamental
Si u(x ; y) et v(x' ; y'), alors :
u et v sont colineaires⟺xy' − x'y = 0
Le nombre xy' − x'y est appele le determinant des vecteurs u et v.
Notation du determinant
det(u, v) =|x x'y y'|= xy' − x'y
Moyen mnemotechnique
Pour calculer le determinant, pensez au schema "en croix" :
x × y' − x' × y
(diagonale principale) − (diagonale secondaire)
Applications de la colinearite
1. Alignement de trois points
Trois points A, B, C sont alignes si et seulement si les vecteursAB et AC sont colineaires.
2. Droites paralleles
Deux droites sont paralleles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colineaires.
3. Point sur une droite
Un point M appartient a la droite (AB) si et seulement si AM etAB sont colineaires.
Exemples d'application
Exemple 1 : Verifier la colinearite
Les vecteurs u(2 ; 3) et v(4 ; 6) sont-ils colineaires ?
Resolution :
Calculons le determinant :
det(u, v) = 2 × 6 − 4 × 3 = 12 − 12 = 0
Le determinant est nul, donc u et v sont colineaires. ✓
On peut verifier : v = 2 × u (car (4;6) = 2×(2;3))
Exemple 2 : Alignement de points
Les points A(1, 2), B(3, 5) et C(7, 11) sont-ils alignes ?
Resolution :
Calculons AB et AC :
• AB = (3−1 ; 5−2) = (2 ; 3)
• AC = (7−1 ; 11−2) = (6 ; 9)
det(AB, AC) = 2 × 9 − 6 × 3 = 18 − 18 = 0
Le determinant est nul, donc A, B et C sont alignes. ✓
Exemple 3 : Droites paralleles
Les droites (AB) et (CD) sont-elles paralleles avec A(0, 0), B(2, 1), C(1, 3) et D(5, 5) ?
Resolution :
Calculons les vecteurs directeurs :
• AB = (2 ; 1)
• CD = (5−1 ; 5−3) = (4 ; 2)
det(AB, CD) = 2 × 2 − 4 × 1 = 4 − 4 = 0
Les droites (AB) et (CD) sont paralleles. ✓
Exemple 4 : Vecteurs non colineaires
Les vecteurs u(1 ; 2) et v(3 ; 4) sont-ils colineaires ?
Resolution :
det(u, v) = 1 × 4 − 3 × 2 = 4 − 6 = −2
Le determinant n'est pas nul (−2 ≠ 0), donc u et v ne sont pas colineaires. ✗
A retenir
Critere de colinearite
det(u, v) = xy' − x'y = 0
Applications
- • A, B, C alignes ⟺ det = 0
- • Droites paralleles ⟺ det = 0
- • v = k·u ⟺ colineaires
