Leçon 4/6
Coordonnees d'un vecteur
Representer un vecteur par ses coordonnees dans un repere et calculer les coordonnees a partir de deux points.
Coordonnees d'un vecteur
Definition
Dans un repere (O, I, J), tout vecteur u peut s'écrire de maniere unique :
Les nombres x et y sont les coordonnees du vecteur. On note : u(x ; y) ou u(x, y)
Première coordonnee (x)
Aussi appelee abscisse du vecteur. Elle indique le deplacement horizontal (positif vers la droite, negatif vers la gauche).
Deuxieme coordonnee (y)
Aussi appelee ordonnee du vecteur. Elle indique le deplacement vertical (positif vers le haut, negatif vers le bas).
Calculer les coordonnees d'un vecteur
Formule fondamentale
Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), alors les coordonnees de AB sont :
⚠️ Moyen mnemotechnique
"Arrivee moins Depart" : les coordonnees du vecteur sont obtenues en soustrayant les coordonnees du point de depart a celles du point d'arrivee.
Visualisation
Exemples de calculs
Exemple 1 : Calculer les coordonnees
Soit A(2, 5) et B(7, 3). Calculer les coordonnees de AB.
Resolution :
On applique la formule "Arrivee − Depart" :
• Abscisse : xB − xA = 7 − 2 = 5
• Ordonnee : yB − yA = 3 − 5 = −2
Donc : AB(5 ; −2)
Exemple 2 : Interpretation geometrique
Le vecteur AB(5 ; −2) represente un deplacement de :
- 5 unites vers la droite (abscisse positive)
- 2 unites vers le bas (ordonnee negative)
Exemple 3 : Trouver un point
Soit A(1, 3) et u(4 ; −1). Trouver B tel que AB = u.
Resolution :
Si AB = u, alors :
• xB − xA = 4 → xB = xA + 4 = 1 + 4 = 5
• yB − yA = −1 → yB = yA + (−1) = 3 − 1 = 2
Donc : B(5 ; 2)
Exemple 4 : Verifier l'égalité de vecteurs
Soit A(1, 2), B(4, 5), C(0, −1) et D(3, 2). Verifier que AB = CD.
Resolution :
Calculons les coordonnees des deux vecteurs :
• AB : (4 − 1 ; 5 − 2) = (3 ; 3)
• CD : (3 − 0 ; 2 − (−1)) = (3 ; 3) = (3 ; 3)
Les coordonnees sont identiques, donc AB = CD. ✓
Proprietes importantes
Égalité de vecteurs
Deux vecteurs sont egaux si et seulement s'ils ont les mêmes coordonnees :
Vecteur oppose
Si u(x ; y), alors son oppose a pour coordonnees :
Vecteur nul
Le vecteur nul a pour coordonnees (0 ; 0) :
A retenir
Formule des coordonnees
AB(xB − xA ; yB − yA)
"Arrivee moins Depart"
Interpretation
- • x > 0 : vers la droite
- • x < 0 : vers la gauche
- • y > 0 : vers le haut
- • y < 0 : vers le bas
