Leçon 5/6
Operations sur les coordonnees
Calculer avec les vecteurs : somme, difference, produit par un scalaire et norme.
Somme et difference de vecteurs
Somme
Si u(x ; y) et v(x' ; y'), alors :
On additionne les abscisses entre elles et les ordonnees entre elles.
Difference
Si u(x ; y) et v(x' ; y'), alors :
On soustrait les abscisses entre elles et les ordonnees entre elles.
Exemple
Soit u(3 ; −2) et v(1 ; 4).
Somme :
u + v = (3+1 ; −2+4) = (4 ; 2)
Difference :
u − v = (3−1 ; −2−4) = (2 ; −6)
Produit par un scalaire (nombre)
Formule
Si u(x ; y) et k est un nombre reel, alors :
Interpretation geometrique
- • k > 0 : même sens que u
- • k < 0 : sens oppose a u
- • |k| > 1 : vecteur "agrandi"
- • |k| < 1 : vecteur "reduit"
Cas particuliers
- • k = 0 : 0·u = 0
- • k = 1 : 1·u = u
- • k = −1 : (−1)·u = −u
- • k = 2 : double la longueur
Exemples
Si u(3 ; −2), alors :
• 2u = (2×3 ; 2×(−2)) = (6 ; −4)
• −3u = (−3×3 ; −3×(−2)) = (−9 ; 6)
• (1/2)u = (3/2 ; −1) = (1.5 ; −1)
Norme d'un vecteur
Formule de la norme
Si u(x ; y), alors sa norme est :
Justification : théorème de Pythagore
La norme est l'hypotenuse du triangle rectangle de cotes x et y.
Distance entre deux points
Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB), alors :
Propriete
Pour tout reel k et tout vecteur u :
Exemples de calculs
Exemple 1 : Calculer une norme
Calculer la norme du vecteur u(3 ; 4).
Resolution :
‖u‖ = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
Exemple 2 : Distance entre deux points
Calculer la distance AB avec A(1, 2) et B(4, 6).
Resolution :
AB a pour coordonnees (4−1 ; 6−2) = (3 ; 4)
AB = ‖AB‖ = √(3² + 4²) = √25 = 5
Exemple 3 : Combinaison d'operations
Soit u(2 ; −1) et v(−1 ; 3). Calculer 2u + 3v.
Resolution :
• 2u = 2(2 ; −1) = (4 ; −2)
• 3v = 3(−1 ; 3) = (−3 ; 9)
2u + 3v = (4 + (−3) ; −2 + 9) = (1 ; 7)
Exemple 4 : Vecteur unitaire
Determiner un vecteur de même direction que u(3 ; 4) mais de norme 1.
Resolution :
On a ‖u‖ = 5 (calcule precedemment).
Le vecteur unitaire est : (1/5)u = (3/5 ; 4/5)
Verification : √((3/5)² + (4/5)²) = √(9/25 + 16/25) = √(25/25) = 1 ✓
Formules a retenir
Operations
u + v = (x+x' ; y+y')
u − v = (x−x' ; y−y')
k·u = (kx ; ky)
Norme
‖u‖ = √(x² + y²)
AB = √[(xB−xA)² + (yB−yA)²]
