Leçon 2/6
Égalité de vecteurs
Savoir reconnaître quand deux vecteurs sont egaux et comprendre le lien avec le parallelogramme.
Quand deux vecteurs sont-ils egaux ?
Definition
Deux vecteurs sont egaux si et seulement s'ils ont :
Ce que cela signifie
Deux vecteurs egaux representent le même deplacement, même s'ils partent de points differents.
Important : La position de depart du vecteur n'a pas d'importance pour l'égalité. Seul compte le "deplacement" qu'il represente.
Lien avec le parallelogramme
Propriete fondamentale
Si ABCD est un parallelogramme, alors :
Les cotes opposes d'un parallelogramme definissent des vecteurs egaux.
Visualisation
AB et DC : même direction, même sens, même longueur
Reciproque
Reciproquement, si AB = DC, alors ABCD est un parallelogramme.
Cette propriete permet de demontrer qu'un quadrilatere est un parallelogramme en montrant l'égalité de deux vecteurs.
Vecteurs et translation
Definition de la translation
La translation de vecteur u est la transformation qui, a tout point M, associe le point M' tel que :
En pratique
Une translation "glisse" tous les points dans la même direction, le même sens, et sur la même distance.
Image d'une figure
L'image d'une figure par une translation est une figure identique, juste "deplacee" dans le plan.
Lien avec l'égalité de vecteurs
Si M' est l'image de M par la translation de vecteur AB, alors :
Donc le quadrilatere ABM'M (dans cet ordre !) est un parallelogramme.
Exemples et exercices types
Exemple 1 : Verifier l'égalité de vecteurs
Soit A(1, 2), B(4, 5), C(3, 1) et D(6, 4). Les vecteurs AB et CD sont-ils egaux ?
Resolution :
Calculons les deplacements :
• AB : de A(1, 2) a B(4, 5) → deplacement (4-1, 5-2) = (3, 3)
• CD : de C(3, 1) a D(6, 4) → deplacement (6-3, 4-1) = (3, 3)
Les deux deplacements sont identiques, donc AB = CD.
Consequence : ABDC est un parallelogramme (attention a l'ordre des points !).
Exemple 2 : Construire un point
Soit A, B, C trois points. Construire le point D tel que AB = CD.
Méthode :
- 1Tracer le vecteur AB (noter le deplacement)
- 2A partir de C, reproduire ce même deplacement
- 3Le point d'arrivee est D
D est l'image de C par la translation de vecteur AB.
Exemple 3 : Demontrer un parallelogramme
Demontrer que EFGH est un parallelogramme sachant que E(0, 0), F(3, 2), G(5, 5), H(2, 3).
Demonstration :
Calculons EF et HG :
• EF : (3-0, 2-0) = (3, 2)
• HG : (5-2, 5-3) = (3, 2)
EF = HG, donc EFGH est un parallelogramme. ✓
Points cles a retenir
Égalité
- • Meme direction, sens et norme
- • La position n'importe pas
- • C'est le "deplacement" qui compte
Parallelogramme
- • ABCD parallelo ⇔ AB = DC
- • Attention a l'ordre des points !
- • Cotes opposes = vecteurs egaux
A retenir
AB = CD signifie que les deux vecteurs representent le même deplacement.
ABCD est un parallelogramme ⟺ AB = DC
La translation de vecteur u associe a tout point M le point M' tel que MM' = u.
