Fluctuation d'echantillonnage
Intervalle de fluctuation et prise de decision : utiliser les statistiques pour tester des hypotheses
La frequence observee dans un echantillon varie d'un echantillon a l'autre : c'est la fluctuation d'echantillonnage. Cette leçon explique comment utiliser cette propriete pour prendre des decisions statistiques.
Qu'est-ce que la fluctuation ?
Definition
La fluctuation d'echantillonnage est le phenomene par lequel la frequence observee f varie d'un echantillon a l'autre, même si la probabilité theorique p reste constante.
Exemple 1 : Illustration de la fluctuation
On lance 100 fois une piece equilibree (p = 0,5). On repete l'experience 5 fois :
| Experience | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Nb de Piles | 47 | 52 | 55 | 48 | 51 |
| Frequence f | 0,47 | 0,52 | 0,55 | 0,48 | 0,51 |
La frequence fluctue entre 0,47 et 0,55, autour de p = 0,5. C'est normal : c'est la fluctuation d'echantillonnage !
Intervalle de fluctuation
Formule (niveau Seconde)
Pour un echantillon de taille n ≥ 25 et une probabilité p avec 0,2 ≤ p ≤ 0,8 :
I = [p - 1/√n ; p + 1/√n]
Dans environ 95% des cas, la frequence observee f appartient a cet intervalle.
Conditions d'application
- n ≥ 25 : echantillon suffisamment grand
- 0,2 ≤ p ≤ 0,8 : probabilité ni trop proche de 0 ni de 1
- L'echantillon doit être aleatoire
Exemple 2 : Calculer un intervalle de fluctuation
Une piece est equilibree (p = 0,5). On la lance n = 100 fois. Determiner l'intervalle de fluctuation.
p = 0,5 et n = 100
√n = √100 = 10, donc 1/√n = 0,1
I = [0,5 - 0,1 ; 0,5 + 0,1] = [0,4 ; 0,6]
Dans 95% des cas, la frequence de "Pile" sera entre 40% et 60%.
Exemple 3 : Intervalle avec n = 400
Un candidat est credite de 35% d'intentions de vote (p = 0,35). Un sondage est realise aupres de n = 400 personnes.
p = 0,35 et n = 400
√n = √400 = 20, donc 1/√n = 0,05
I = [0,35 - 0,05 ; 0,35 + 0,05] = [0,30 ; 0,40]
Dans 95% des cas, le sondage donnera entre 30% et 40% pour ce candidat.
Prise de decision
Principe
L'intervalle de fluctuation permet de tester une hypothese. On compare la frequence observee f a l'intervalle I calcule sous l'hypothese.
f ∈ I
La frequence est compatible avec l'hypothese. Pas de raison de la rejeter.
f ∉ I
La frequence est anormalement eloignee. L'hypothese peut être remise en question.
Exemple 4 : Le de est-il truque ?
On lance un de 100 fois et on obtient 22 fois le chiffre 6. Le de est-il truque ?
Resolution :
Hypothese : Le de est equilibre → p = 1/6 ≈ 0,167
Intervalle de fluctuation :
n = 100, 1/√n = 0,1
I = [0,167 - 0,1 ; 0,167 + 0,1] = [0,067 ; 0,267]
Frequence observee :
f = 22/100 = 0,22
Conclusion : f = 0,22 ∈ [0,067 ; 0,267]
La frequence est dans l'intervalle. Pas de raison de penser que le de est truque.
Exemple 5 : Contrôle qualité
Une machine produit habituellement 5% de pieces defectueuses (p = 0,05). Sur 400 pieces controlees, on en trouve 32 defectueuses. La machine est-elle dereglée ?
Hypothese : Machine bien reglee → p = 0,05
Note : p = 0,05 < 0,2, on est a la limite des conditions. Resultat approximatif.
Intervalle :
n = 400, 1/√n = 1/20 = 0,05
I = [0,05 - 0,05 ; 0,05 + 0,05] = [0 ; 0,10]
Frequence observee :
f = 32/400 = 0,08 = 8%
Conclusion : f = 0,08 ∈ [0 ; 0,10]
8% reste dans l'intervalle acceptable. Pas de dereglage evident.
Exemple 6 : Efficacite d'un medicament
Un medicament est sense guerir 70% des patients (p = 0,70). Sur 100 patients traites, seulement 58 sont gueris. Le medicament est-il moins efficace qu'annonce ?
Hypothese : Efficacite = 70% → p = 0,70
Intervalle :
n = 100, 1/√n = 0,1
I = [0,70 - 0,1 ; 0,70 + 0,1] = [0,60 ; 0,80]
Frequence observee :
f = 58/100 = 0,58
Conclusion : f = 0,58 ∉ [0,60 ; 0,80]
La frequence est en dehors de l'intervalle. L'efficacite annoncee de 70% peut être remise en question.
Attention
- • Si f ∉ I, on ne peut pas affirmer que l'hypothese est fausse, seulement qu'elle est peu probable (risque de 5%)
- • Si f ∈ I, cela ne prouve pas que l'hypothese est vraie, mais qu'elle est compatible avec les observations
Points cles a retenir
- Fluctuation : la frequence varie d'un echantillon a l'autre
- Intervalle : I = [p - 1/√n ; p + 1/√n] (si n ≥ 25 et 0,2 ≤ p ≤ 0,8)
- f ∈ I : hypothese compatible (pas de raison de rejeter)
- f ∉ I : hypothese remise en question
- Dans 95% des cas, la frequence est dans l'intervalle
