Indicateurs de position
Moyenne, mediane et quartiles : les outils essentiels pour resumer une serie statistique
En statistiques, les indicateurs de position (ou de tendance centrale) permettent de resumer une serie de donnees par une valeur representative. Ces indicateurs répondent a la question :"Autour de quelle valeur se situent les donnees ?"
Les trois principaux indicateurs de position sont la moyenne, la medianeet les quartiles. Chacun a ses avantages et ses cas d'utilisation.
La Moyenne
Definition
La moyenne arithmetique d'une serie statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs par le nombre total de valeurs (effectif total).
x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xₙ) / n
ou x̄ est la moyenne, xᵢ les valeurs et n l'effectif total
Moyenne ponderee (avec effectifs)
Lorsque certaines valeurs se repetent, on utilise la moyenne ponderee qui tient compte des effectifs (nombre de fois ou chaque valeur apparait).
Formule de la moyenne ponderee
x̄ = (n₁×x₁ + n₂×x₂ + ... + nₖ×xₖ) / N
Ou nᵢ est l'effectif de la valeur xᵢ et N = n₁ + n₂ + ... + nₖ est l'effectif total.
Exemple 1 : Calcul simple de moyenne
Un élève a obtenu les notes suivantes en mathematiques : 12, 14, 15, 11, 18. Calculer sa moyenne.
Resolution :
Somme des notes = 12 + 14 + 15 + 11 + 18 = 70
Nombre de notes = 5
Moyenne = 70 ÷ 5 = 14
La moyenne de l'élève est de 14/20.
Exemple 2 : Moyenne ponderee avec tableau d'effectifs
Voici les résultats d'un contrôle de maths dans une classe de 30 élèves :
| Note (xᵢ) | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif (nᵢ) | 2 | 5 | 8 | 9 | 4 | 2 |
Resolution :
Étape 1 : Calculer chaque produit nᵢ × xᵢ
2×8 + 5×10 + 8×12 + 9×14 + 4×16 + 2×18
= 16 + 50 + 96 + 126 + 64 + 36 = 388
Étape 2 : Verifier l'effectif total
N = 2 + 5 + 8 + 9 + 4 + 2 = 30 élèves
Étape 3 : Calculer la moyenne
x̄ = 388 ÷ 30 = 12,93
La moyenne de la classe est d'environ 12,9/20.
Exemple 3 : Moyenne avec coefficients
Un élève a les notes suivantes avec coefficients differents :
| Matière | Maths | Français | Histoire | Sport |
|---|---|---|---|---|
| Note | 15 | 12 | 14 | 18 |
| Coefficient | 4 | 3 | 2 | 1 |
Resolution :
Somme ponderee = 4×15 + 3×12 + 2×14 + 1×18
= 60 + 36 + 28 + 18 = 142
Somme des coefficients = 4 + 3 + 2 + 1 = 10
Moyenne = 142 ÷ 10 = 14,2
La moyenne ponderee est de 14,2/20.
Attention : Limites de la moyenne
La moyenne est sensible aux valeurs extremes. Une seule valeur tres elevee ou tres basse peut fortement modifier la moyenne et la rendre peu representative.
Exemple : Salaires de 5 employes : 1500€, 1600€, 1700€, 1800€, 10000€.
Moyenne = 3320€ → Non representative car tiree vers le haut par le PDG !
La Mediane
Definition
La mediane est la valeur qui partage la serie statistique ordonnee en deux parties de même effectif. 50% des valeurs sont inferieures ou egales a la mediane, et 50% sont superieures ou egales.
Cas 1 : Effectif impair (n = 2p+1)
La mediane est la valeur centrale, en position (n+1)/2.
Serie de 7 valeurs :
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15
Mediane = 9 (4ème valeur)
Cas 2 : Effectif pair (n = 2p)
La mediane est la moyenne des deux valeurs centrales.
Serie de 6 valeurs :
4, 6, 8, 10, 12, 14
Mediane = (8+10)/2 = 9
Exemple 4 : Determination de la mediane (effectif impair)
Voici les temps (en minutes) de 9 coureurs sur un 10 km : 48, 52, 45, 58, 42, 55, 51, 49, 47.
Resolution :
Étape 1 : Ordonner les valeurs
42, 45, 47, 48, 49, 51, 52, 55, 58
Étape 2 : Trouver la position
n = 9 (impair), position = (9+1)/2 = 5ème valeur
Étape 3 : Lire la mediane
La 5ème valeur est 49
La mediane est de 49 minutes. La moitie des coureurs a fait moins de 49 min.
Exemple 5 : Mediane avec tableau d'effectifs
Nombre de livres lus par mois par 40 élèves :
| Nb de livres | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 8 | 12 | 10 | 5 | 2 |
| Effectifs cumules | 3 | 11 | 23 | 33 | 38 | 40 |
Resolution :
n = 40 (pair) → on cherche les 20ème et 21ème valeurs
D'apres les effectifs cumules : les valeurs 12 a 23 sont egales a 2
Donc la 20ème et la 21ème valeur sont toutes les deux egales a 2
Mediane = (2+2)/2 = 2 livres par mois.
Avantage de la mediane
Contrairement a la moyenne, la mediane n'est pas sensible aux valeurs extremes. Elle est donc plus representative lorsque la serie contient des valeurs aberrantes.
Les Quartiles
Definition
Les quartiles sont trois valeurs (Q1, Q2, Q3) qui partagent la serie ordonnee en quatre parties de même effectif (environ 25% chacune).
Q1 - Premier quartile
25% des valeurs sont inferieures a Q1
Q2 - Deuxieme quartile
C'est la mediane (50%)
Q3 - Troisieme quartile
75% des valeurs sont inferieures a Q3
Comment trouver les quartiles ?
Méthode simplifiee pour le niveau Seconde :
- Ordonner la serie
- Q1 : la plus petite valeur v telle qu'au moins 25% des valeurs soient ≤ v
- Q3 : la plus petite valeur v telle qu'au moins 75% des valeurs soient ≤ v
Exemple 6 : Calcul des quartiles
Serie ordonnee de 12 notes : 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18
Resolution :
n = 12 valeurs
Q1 : 25% de 12 = 3 → Q1 est la 3ème valeur = 8
Mediane : entre la 6ème (11) et 7ème (12) valeur = 11,5
Q3 : 75% de 12 = 9 → Q3 est la 9ème valeur = 14
Q1 = 8, Mediane = 11,5, Q3 = 14
L'ecart interquartile IQR = Q3 - Q1 = 14 - 8 = 6 points
Points cles a retenir
- Moyenne = somme des valeurs / effectif total
- Moyenne ponderee : tenir compte des effectifs ou coefficients
- Mediane : valeur centrale de la serie ordonnee (50%)
- Quartiles : Q1 (25%), Q2=mediane (50%), Q3 (75%)
- La mediane resiste mieux aux valeurs extremes que la moyenne
