Introduction aux probabilites
Experience aleatoire, univers, événements : le vocabulaire essentiel des probabilites
Les probabilites permettent de quantifier le hasard. Elles répondent a la question : "Quelle est la chance qu'un événement se produise ?"
On utilise les probabilites au quotidien : meteo, jeux, assurances, medecine, sports... Ce chapitre pose les bases du vocabulaire et des premiers calculs.
Experience aleatoire
Definition
Une experience aleatoire est une experience dont on ne peut pas prevoir avec certitude le résultat, mais dont on connait tous les résultats possibles.
Exemples d'experiences aleatoires
- • Lancer un de a 6 faces
- • Lancer une piece de monnaie
- • Tirer une carte dans un jeu de 32 ou 52
- • Tirer une boule dans une urne
- • Faire tourner une roue de loterie
Non aleatoires (deterministes)
- • Calculer 2 + 3 (toujours 5)
- • La somme des angles d'un triangle
- • La date de demain
- • Le résultat d'une recette suivie exactement
Univers et issues
Definitions
- Issue (ou eventualite) : chaque résultat possible d'une experience aleatoire.
- Univers (note Ω "omega") : ensemble de toutes les issues possibles.
Exemple 1 : Lancer d'un de
On lance un de equilibre a 6 faces.
Issues : obtenir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6
Univers : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Nombre d'issues : Card(Ω) = 6
Exemple 2 : Lancer d'une piece
On lance une piece de monnaie.
Issues : Pile (P) ou Face (F)
Univers : Ω = {P, F}
Nombre d'issues : Card(Ω) = 2
Exemple 3 : Tirage d'une carte
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.
Issues : 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As dans chaque couleur
Univers : 32 cartes (4 couleurs × 8 valeurs)
Nombre d'issues : Card(Ω) = 32
Les événements
Definition
Un événement est un sous-ensemble de l'univers Ω. C'est un ensemble d'issues. On dit qu'un événement est realisesi l'issue obtenue appartient a cet événement.
Événement elementaire
Un événement compose d'une seule issue.
Exemple : "Obtenir 6" = {6}
Événement compose
Un événement compose de plusieurs issues.
Exemple : "Obtenir un nombre pair" = {2, 4, 6}
Événement certain
L'événement qui contient toutes les issues (= Ω). Il se realise toujours.
Exemple : "Obtenir un nombre entre 1 et 6"
Événement impossible
L'événement vide (note ∅). Il ne contient aucune issue et ne se realise jamais.
Exemple : "Obtenir 7 avec un de a 6 faces"
Exemple 4 : Événements avec un de
On lance un de a 6 faces. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A : "Obtenir un nombre pair" = {2, 4, 6}
B : "Obtenir un nombre superieur a 4" = {5, 6}
C : "Obtenir un multiple de 3" = {3, 6}
D : "Obtenir 1" = {1} (événement elementaire)
Probabilite d'un événement
Definition
La probabilité d'un événement A, notee P(A), est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la "chance" que A se realise.
- • P(A) = 0 : événement impossible
- • P(A) = 1 : événement certain
- • La somme des probabilites de toutes les issues vaut 1
Situation d'equiprobabilite
On dit qu'il y a equiprobabilite lorsque toutes les issues ont la même probabilité de se realiser.
P(A) = Nombre d'issues favorables / Nombre total d'issues
P(A) = Card(A) / Card(Ω)
Exemple 5 : Probabilites avec un de equilibre
On lance un de equilibre (equiprobabilite). Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Card(Ω) = 6
P("Obtenir 6") = 1/6 ≈ 0,167 (environ 16,7%)
P("Obtenir un nombre pair") = 3/6 = 1/2 = 0,5 (50%)
Issues favorables : {2, 4, 6} → 3 issues
P("Obtenir un nombre > 4") = 2/6 = 1/3 ≈ 0,333
Issues favorables : {5, 6} → 2 issues
Exemple 6 : Probabilites avec des cartes
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes (equiprobabilite).
P("Tirer un roi") = 4/32 = 1/8 = 0,125
4 rois dans le jeu
P("Tirer un coeur") = 8/32 = 1/4 = 0,25
8 cartes coeur dans le jeu
P("Tirer une figure") = 12/32 = 3/8 = 0,375
Valet, Dame, Roi × 4 couleurs = 12 figures
Points cles a retenir
- Experience aleatoire : résultat imprevisible mais issues connues
- Univers Ω : ensemble de toutes les issues possibles
- Événement : sous-ensemble de Ω (ensemble d'issues)
- Probabilite : nombre entre 0 et 1, somme = 1
- Equiprobabilite : P(A) = Card(A) / Card(Ω)
