Indicateurs de dispersion
Etendue, variance et ecart-type : mesurer comment les valeurs sont reparties autour de la moyenne
Les indicateurs de dispersion completent les indicateurs de position. Ils mesurent l'etalement des valeurs autour de la moyenne et répondent a la question :"Les donnees sont-elles groupees ou dispersees ?"
Exemple : Deux classes ont la même moyenne de 12/20. Mais dans la classe A, tous les élèves ont entre 10 et 14, tandis que dans la classe B, les notes vont de 2 a 20. Les indicateurs de dispersion permettent de distinguer ces deux situations.
L'Etendue
Definition
L'etendue d'une serie statistique est la difference entre la plus grande et la plus petite valeur de la serie.
Etendue = Valeur maximale - Valeur minimale
Exemple 1 : Calcul de l'etendue
Temperatures relevees sur une semaine : 12°C, 15°C, 18°C, 14°C, 20°C, 11°C, 16°C
Valeur maximale = 20°C
Valeur minimale = 11°C
Etendue = 20 - 11 = 9°C
L'etendue est de 9°C. Les temperatures varient sur une plage de 9 degrés.
Limite de l'etendue
L'etendue ne depend que de deux valeurs (min et max). Elle est donc tres sensible aux valeurs extremes et ne dit rien sur la repartition des autres valeurs.
L'Ecart interquartile
Definition
L'ecart interquartile (note IQR pour InterQuartile Range) est la difference entre le troisieme et le premier quartile.
IQR = Q3 - Q1
L'IQR mesure la dispersion des 50% des valeurs centrales, sans être influence par les extremes.
Exemple 2 : Calcul de l'ecart interquartile
Serie de 12 notes : 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 18
Q1 (25%) = 8 (3ème valeur)
Q3 (75%) = 14 (9ème valeur)
IQR = Q3 - Q1 = 14 - 8 = 6
L'ecart interquartile est de 6 points. Les 50% des notes centrales sont reparties sur 6 points.
La Variance
Definition
La variance est la moyenne des carres des ecarts a la moyenne. Elle mesure la dispersion moyenne autour de la moyenne.
V = (1/N) × Σ nᵢ × (xᵢ - x̄)²
ou de maniere equivalente : V = (1/N) × Σ nᵢ × xᵢ² - x̄²
Méthode de calcul en 4 étapes
- 1. Calculer la moyenne x̄
- 2. Pour chaque valeur, calculer l'ecart a la moyenne (xᵢ - x̄)
- 3. Elever ces ecarts au carre (xᵢ - x̄)²
- 4. Faire la moyenne de ces carres
Exemple 3 : Calcul detaille de la variance
Serie de 5 notes : 8, 10, 12, 14, 16
Resolution detaillee :
Étape 1 : Calculer la moyenne
x̄ = (8+10+12+14+16)/5 = 60/5 = 12
Étape 2 & 3 : Ecarts et carres
| xᵢ | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| xᵢ - x̄ | -4 | -2 | 0 | +2 | +4 |
| (xᵢ - x̄)² | 16 | 4 | 0 | 4 | 16 |
Étape 4 : Moyenne des carres
V = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 8
La variance est V = 8.
Unite de la variance
La variance s'exprime dans le carre de l'unite des donnees. Si les donnees sont en metres, la variance est en m². C'est pourquoi on utilise souvent l'ecart-type.
L'Ecart-type
Definition
L'ecart-type (note σ "sigma") est la racine carree de la variance. Il s'exprime dans la même unite que les donnees.
σ = √V
Exemple 4 : Suite de l'exemple precedent
On avait trouve V = 8
σ = √8 = √8 ≈ 2,83
L'ecart-type est σ ≈ 2,83 points.
En moyenne, les notes s'ecartent d'environ 2,8 points de la moyenne (12).
Exemple 5 : Comparaison de deux series
Comparons deux classes ayant la même moyenne de 10 :
Classe A
Notes : 8, 9, 10, 11, 12
Moyenne = 10
σ ≈ 1,41
Classe B
Notes : 2, 6, 10, 14, 18
Moyenne = 10
σ ≈ 5,66
Interpretation : La classe A est plus homogene(σ = 1,41) que la classe B (σ = 5,66). Les notes de la classe B sont plus dispersees.
Comment interpreter l'ecart-type ?
- σ petit → Valeurs groupees autour de la moyenne (serie homogene)
- σ grand → Valeurs etalees, dispersees (serie heterogene)
- En general, environ 68% des valeurs sont dans l'intervalle [x̄ - σ ; x̄ + σ]
Points cles a retenir
- Etendue = max - min (sensible aux extremes)
- Ecart interquartile IQR = Q3 - Q1 (50% centraux)
- Variance V = moyenne des (xᵢ - x̄)²
- Ecart-type σ = √V (même unite que les donnees)
- Plus σ est petit, plus la serie est homogene
