Calculs de probabilites
Événement contraire, union, intersection : toutes les formules pour calculer des probabilites
Événement contraire
Definition et formule
L'événement contraire de A, note Ā (ou A̅ ou A'), est l'ensemble des issues de Ω qui n'appartiennent pas a A. "A ne se realise pas".
P(Ā) = 1 - P(A)
Exemple 1 : Utiliser l'événement contraire
On lance un de. Calculer P("Obtenir autre chose que 6").
Soit A : "Obtenir 6". L'événement contraire Ā : "Obtenir autre chose que 6".
P(A) = 1/6
P(Ā) = 1 - P(A) = 1 - 1/6 = 5/6
Exemple 2 : Quand l'événement contraire simplifie
On lance deux des. Calculer P("Obtenir au moins un 6").
Astuce : "Au moins un 6" est le contraire de "Aucun 6".
P("Aucun 6 sur le 1er de") = 5/6
P("Aucun 6 sur le 2eme de") = 5/6
P("Aucun 6") = 5/6 × 5/6 = 25/36
P("Au moins un 6") = 1 - 25/36 = 11/36 ≈ 0,306
Conseil pratique
Quand un événement commence par "au moins un", "au plus", "pas tous", il est souvent plus simple de calculer son contraire puis d'utiliser P(Ā) = 1 - P(A).
Union et intersection
Union : A ∪ B ("A ou B")
L'événement "A ou B" se realise si au moins l'un des deux se realise.
Issues appartenant a A, a B, ou aux deux.
Intersection : A ∩ B ("A et B")
L'événement "A et B" se realise si les deux se realisent en même temps.
Issues appartenant a A et a B simultanement.
Formule de l'union
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
On soustrait P(A ∩ B) pour ne pas compter deux fois les issues communes.
Exemple 3 : Calcul avec union
On tire une carte d'un jeu de 32. Calculer P("Tirer un roi ou un coeur").
A : "Tirer un roi" → P(A) = 4/32 = 1/8
B : "Tirer un coeur" → P(B) = 8/32 = 1/4
A ∩ B : "Tirer le roi de coeur" → P(A ∩ B) = 1/32
P(A ∪ B) = 4/32 + 8/32 - 1/32 = 11/32 ≈ 0,344
Exemple 4 : Union et intersection avec un de
On lance un de. A : "nombre pair", B : "nombre > 3". Calculer P(A ∪ B) et P(A ∩ B).
A = {2, 4, 6} → P(A) = 3/6 = 1/2
B = {4, 5, 6} → P(B) = 3/6 = 1/2
A ∩ B = {4, 6} → P(A ∩ B) = 2/6 = 1/3
A ∪ B = {2, 4, 5, 6} → P(A ∪ B) = 4/6 = 2/3
Verification : P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 1/2 + 1/2 - 1/3 = 2/3 ✓
Événements incompatibles
Definition
Deux événements A et B sont incompatibles (ou disjoints) s'ils ne peuvent pas se realiser en même temps : A ∩ B = ∅.
Si A et B incompatibles :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Exemple 5 : Événements incompatibles
On lance un de. A : "Obtenir 1 ou 2", B : "Obtenir 5 ou 6".
A = {1, 2} → P(A) = 2/6 = 1/3
B = {5, 6} → P(B) = 2/6 = 1/3
A ∩ B = ∅ (pas d'issues communes) → A et B incompatibles
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1/3 + 1/3 = 2/3
| Formule | Condition |
|---|---|
| P(Ā) = 1 - P(A) | Toujours |
| P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) | Toujours |
| P(A ∪ B) = P(A) + P(B) | Si A et B incompatibles |
Points cles a retenir
- P(Ā) = 1 - P(A) : probabilité de l'événement contraire
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) : formule de l'union
- Incompatibles : A ∩ B = ∅ → P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
- "Au moins un" → utiliser l'événement contraire "aucun"
