Variables aleatoires discretes
Niveau Premiere - Quantifier les resultats du hasard
Introduction
Une variable aleatoire permet d'associer un nombre a chaque resultat d'une experience aleatoire. Cela permet d'utiliser des outils mathematiques puissants : esperance (valeur moyenne attendue), variance et ecart-type (dispersion). Ces notions sont fondamentales en statistique, en economie et dans toutes les sciences.
Definition d'une variable aleatoire
- 1Variable aleatoire X : fonction qui associe un nombre reel a chaque issue de l'univers
- 2X : Ω → ℝ (de l'univers vers les reels)
- 3Exemple : X = "somme obtenue en lancant deux des" prend les valeurs 2, 3, ..., 12
- 4L'evenement {X = k} est l'ensemble des issues ω telles que X(ω) = k
Loi de probabilite
- 1La loi de X est le tableau donnant chaque valeur xᵢ avec sa probabilite P(X = xᵢ)
- 2La somme de toutes les probabilites vaut 1 : Σ P(X = xᵢ) = 1
- 3On peut aussi ecrire P(X ≤ k) : fonction de repartition
- 4Exemple : X suit la loi definie par P(X=0) = 0.3, P(X=1) = 0.5, P(X=2) = 0.2
Esperance E(X)
- 1E(X) = Σ xᵢ × P(X = xᵢ) (somme de chaque valeur ponderee par sa probabilite)
- 2E(X) represente la valeur moyenne "theorique" de X sur un grand nombre d'experiences
- 3Interpretation : c'est le gain moyen attendu dans un jeu de hasard
- 4Jeu equitable ⇔ E(X) = 0 (ni gain, ni perte en moyenne)
Variance V(X) et ecart-type σ(X)
- 1V(X) = Σ (xᵢ − E(X))² × P(X = xᵢ)
- 2Formule de Koenig-Huygens : V(X) = E(X²) − [E(X)]²
- 3Ecart-type : σ(X) = √V(X)
- 4σ(X) mesure la dispersion des valeurs autour de l'esperance
Proprietes de linearite
- 1E(aX + b) = a × E(X) + b (linearite de l'esperance)
- 2V(aX + b) = a² × V(X) (attention : le b disparait, le a est au carre)
- 3σ(aX + b) = |a| × σ(X)
- 4Si X et Y independantes : E(X + Y) = E(X) + E(Y) et V(X + Y) = V(X) + V(Y)
Formules cles a retenir
Esperance
E(X) = Σ xᵢ × P(X=xᵢ)
Variance
V(X) = E(X²) − [E(X)]²
Ecart-type
σ(X) = √V(X)
Linearite
E(aX+b) = aE(X)+b
Astuces pour le Bac
- Pose toujours le tableau de la loi de probabilite avant de calculer E(X) et V(X).
- La formule de Koenig-Huygens V(X) = E(X\u00B2) \u2212 [E(X)]\u00B2 est souvent plus rapide.
- Pour un jeu : E(X) > 0 favorable au joueur, E(X) < 0 favorable a l'organisateur.
- Verifie toujours que \u03A3 P(X = x\u1D62) = 1 avant de commencer tes calculs.
Exercices d'entrainement
Exercice 1
On lance un de equilibre. Soit X le nombre obtenu. Calculer E(X), V(X) et σ(X).
Conseil : La loi de X est : P(X=k) = 1/6 pour k = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Utilise E(X) = Σ k/6 et la formule de Koenig-Huygens pour V(X).
Exercice 2
Un jeu consiste a lancer une piece equilibree. Si on obtient Pile, on gagne 3€. Si on obtient Face, on perd 2€. Calculer l'esperance du gain. Ce jeu est-il equitable ?
Conseil : Pose X la variable aleatoire "gain". X prend les valeurs 3 et -2, chacune avec probabilite 1/2. Calcule E(X) et compare a 0.
