Probabilites conditionnelles
Niveau Premiere - Quand le contexte change la probabilite
Introduction
Les probabilites conditionnelles permettent de calculer la probabilite d'un evenement en tenant compte d'une information supplementaire. Par exemple, la probabilite de reussir un examen sachant qu'on a revise est differente de la probabilite globale de reussir. Ce chapitre introduit la formule de Bayes, un outil puissant utilise en intelligence artificielle et en medecine.
Probabilite conditionnelle P(A|B)
- 1P(A|B) = probabilite de A sachant que B est realise
- 2Definition : P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) avec P(B) ≠ 0
- 3On lit "probabilite de A sachant B"
- 4Attention : en general P(A|B) ≠ P(B|A)
Probabilite de l'intersection
- 1P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B)
- 2P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
- 3Cette formule decoule directement de la definition de P(A|B)
- 4Elle est tres utile pour calculer la probabilite d'un chemin dans un arbre
Evenements independants
- 1A et B sont independants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
- 2Equivalence : A et B independants ⇔ P(A|B) = P(A)
- 3Si A et B sont independants, alors A et B̄ le sont aussi
- 4Attention : independant ≠ incompatible (ne pas confondre !)
Formule des probabilites totales
- 1Si B₁, B₂, ..., Bₙ forment une partition de Ω :
- 2P(A) = P(A ∩ B₁) + P(A ∩ B₂) + ... + P(A ∩ Bₙ)
- 3P(A) = P(B₁)×P(A|B₁) + P(B₂)×P(A|B₂) + ... + P(Bₙ)×P(A|Bₙ)
- 4Cas frequent avec partition {B, B̄} : P(A) = P(B)×P(A|B) + P(B̄)×P(A|B̄)
Formule de Bayes
- 1P(B|A) = P(A|B) × P(B) / P(A)
- 2Elle permet d'"inverser" le conditionnement
- 3Tres utile en medecine (tests diagnostiques), en informatique (filtrage)
- 4On l'applique souvent apres avoir calcule P(A) par la formule des probabilites totales
Arbre pondere
- 1Representation graphique d'une situation avec probabilites conditionnelles
- 2Premiere branche : probabilites des evenements de la partition
- 3Deuxieme branche : probabilites conditionnelles
- 4Probabilite d'un chemin = produit des probabilites le long du chemin
Formules cles a retenir
Conditionnelle
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
Independance
P(A∩B) = P(A) × P(B)
Prob. totales
P(A) = Σ P(Bᵢ)×P(A|Bᵢ)
Bayes
P(B|A) = P(A|B)×P(B) / P(A)
Astuces pour le Bac
- Dessine TOUJOURS l'arbre pondere : c'est le meilleur outil pour organiser les informations.
- Pour Bayes : utilise d'abord la formule des probabilites totales au denominateur.
- Independant \u2260 incompatible : deux evenements incompatibles de probabilites non nulles ne sont JAMAIS independants.
- Verifie que la somme des branches issues de chaque noeud vaut 1.
Exercices d'entrainement
Exercice 1
Dans une population, 5% des personnes sont atteintes d'une maladie. Un test detecte la maladie dans 95% des cas (vrai positif) et donne un faux positif dans 3% des cas. Une personne est testee positive. Quelle est la probabilite qu'elle soit reellement malade ?
Conseil : Utilise la formule de Bayes. Pose M = "malade", T = "test positif". Calcule P(M|T) en utilisant P(T) par la formule des probabilites totales.
Exercice 2
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Soit A = "obtenir un as" et R = "obtenir une carte rouge". Les evenements A et R sont-ils independants ?
Conseil : Calcule P(A), P(R) et P(A ∩ R). Verifie si P(A ∩ R) = P(A) × P(R).
