Loi binomiale
Niveau Premiere - Repeter une epreuve de Bernoulli
Introduction
La loi binomiale est l'une des lois de probabilite les plus utilisees. Elle modelise le nombre de succes obtenus lors de la repetition independante d'une meme experience a deux issues (epreuve de Bernoulli). On la retrouve partout : controle qualite, sondages, tests medicaux, jeux de hasard... C'est un incontournable du programme de Premiere et du Bac.
Epreuve de Bernoulli
- 1Experience aleatoire a exactement deux issues : "succes" (S) et "echec" (E)
- 2On note p = P(S) la probabilite du succes
- 3Et q = P(E) = 1 − p la probabilite de l'echec
- 4Exemples : lancer une piece (Pile/Face), controle qualite (conforme/defectueux)
Schema de Bernoulli
- 1Repetition de n epreuves de Bernoulli identiques et independantes
- 2Identiques : meme probabilite p a chaque epreuve
- 3Independantes : le resultat d'une epreuve n'influence pas les suivantes
- 4Exemple : lancer 10 fois un de et compter le nombre de 6
Coefficients binomiaux
- 1C(n,k) = "k parmi n" = nombre de facons de choisir k elements parmi n
- 2C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!)
- 3Proprietes : C(n,0) = C(n,n) = 1 et C(n,k) = C(n, n−k)
- 4Triangle de Pascal : C(n,k) = C(n−1, k−1) + C(n−1, k)
Loi binomiale B(n,p)
- 1X = nombre de succes dans un schema de Bernoulli de parametres n et p
- 2X suit la loi binomiale B(n, p)
- 3P(X = k) = C(n,k) × pᵏ × (1−p)ⁿ⁻ᵏ pour k = 0, 1, ..., n
- 4X prend les valeurs entieres de 0 a n
Esperance et ecart-type
- 1Esperance : E(X) = n × p
- 2Variance : V(X) = n × p × (1−p) = n × p × q
- 3Ecart-type : σ(X) = √(n × p × q)
- 4Interpretation : sur n epreuves, on attend en moyenne np succes
Formules cles a retenir
P(X=k)
C(n,k) × pᵏ × qⁿ⁻ᵏ
Esperance
E(X) = np
Variance
V(X) = npq
Coeff. binomial
C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
Astuces pour le Bac
- Avant d'appliquer B(n,p), verifie les 3 conditions : n epreuves identiques, independantes, deux issues.
- Pour P(X \u2265 1) : utilise le complementaire P(X \u2265 1) = 1 \u2212 P(X = 0) = 1 \u2212 q\u207F.
- Sur la calculatrice : binomPdf(n, p, k) pour P(X=k) et binomCdf(n, p, k) pour P(X \u2264 k).
- Le mode (valeur la plus probable) est proche de np : verifie tes resultats avec E(X) = np.
Exercices d'entrainement
Exercice 1
On lance 8 fois une piece equilibree. Soit X le nombre de Pile obtenus. Quelle est la loi de X ? Calculer P(X = 3), E(X) et σ(X).
Conseil : X suit B(8, 0.5). Utilise P(X=3) = C(8,3) × 0.5³ × 0.5⁵. Calcule C(8,3) = 56.
Exercice 2
Un controle qualite montre que 2% des pieces sont defectueuses. On preleve 50 pieces. Quelle est la probabilite d'avoir exactement 2 pieces defectueuses ? Au moins une ?
Conseil : X ∼ B(50, 0.02). Pour "au moins une", calcule P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0). Utilise la calculatrice pour P(X=0) = 0.98⁵⁰.
