Succession d'epreuves
Niveau Terminale - Graphes probabilistes et matrices
Introduction
La succession d'epreuves generalise les schemas de Bernoulli en introduisant des dependances entre les etapes. Les graphes probabilistes et les matrices de transition sont des outils puissants pour modeliser des systemes qui evoluent dans le temps : meteo, files d'attente, navigation web, genetique des populations. La notion d'etat stable est fondamentale en Terminale.
Arbres ponderes a plusieurs etapes
- 1Modelisation de plusieurs experiences aleatoires successives
- 2Probabilite d'un chemin = produit des probabilites de chaque branche
- 3Probabilite d'un evenement = somme des probabilites des chemins qui le realisent
- 4Formule des probabilites totales pour calculer P(A) a l'etape n
Graphes probabilistes
- 1Graphe : representation des etats et des transitions entre etats
- 2Chaque sommet represente un etat du systeme
- 3Chaque fleche porte la probabilite de transition d'un etat a un autre
- 4La somme des probabilites sortant d'un meme sommet vaut 1
Matrices de transition
- 1Matrice M carree ou chaque coefficient mᵢⱼ est la probabilite de passer de l'etat i a l'etat j
- 2Propriete : la somme des coefficients de chaque ligne vaut 1
- 3Si Pₙ = (pₙ, qₙ) est l'etat probabiliste a l'etape n
- 4Alors Pₙ₊₁ = Pₙ × M (multiplication matricielle)
Etat stable (ou stationnaire)
- 1Etat stable π : vecteur tel que π × M = π
- 2C'est l'etat vers lequel converge le systeme a long terme
- 3Pour le trouver : resoudre le systeme π × M = π avec Σ πᵢ = 1
- 4Exemple : si M = [[0.7, 0.3], [0.4, 0.6]], resoudre 0.7a + 0.4b = a et a + b = 1
Marches aleatoires
- 1Deplacement aleatoire sur un graphe ou une droite
- 2A chaque etape, on se deplace avec certaines probabilites
- 3Marche aleatoire sur ℤ : a chaque pas, +1 avec probabilite p ou −1 avec probabilite 1−p
- 4Applications : finance (cours boursiers), physique (diffusion), biologie
Formules cles a retenir
Etat a l'etape n+1
P(n+1) = P(n) × M
Etat a l'etape n
P(n) = P(0) × Mⁿ
Etat stable
π × M = π, Σπᵢ = 1
Chemin
P(chemin) = ∏ pᵢ (produit)
Astuces pour le Bac
- Pour la matrice de transition : les lignes correspondent a l'etat de depart, les colonnes a l'etat d'arrivee.
- Verifie toujours que chaque ligne de la matrice somme a 1.
- Pour l'etat stable : resous le systeme \u03C0M = \u03C0 PLUS la condition \u03A3\u03C0\u1D62 = 1 (sinon systeme indetermine).
- La calculatrice peut calculer M\u207F : utilise le mode matriciel pour verifier tes resultats.
Exercices d'entrainement
Exercice 1
Chaque jour, s'il fait beau, il y a 80% de chances qu'il fasse beau le lendemain. S'il pleut, il y a 60% de chances qu'il pleuve le lendemain. Ecrire la matrice de transition. S'il fait beau lundi, quelle est la probabilite qu'il pleuve mercredi ?
Conseil : M = [[0.8, 0.2], [0.4, 0.6]]. Calcule P(2) = P(0) × M² avec P(0) = (1, 0) pour "beau lundi".
Exercice 2
Avec la matrice de transition precedente, determiner l'etat stable. Interpreter le resultat.
Conseil : Resous πM = π : si π = (a, b), alors 0.8a + 0.4b = a et a + b = 1. Tu obtiens a = 2/3 et b = 1/3.
