Lois continues
Niveau Terminale - Loi uniforme, loi normale et courbe de Gauss
Introduction
Les lois continues modelisent des phenomenes ou la variable aleatoire peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle. La loi normale (ou loi de Gauss) est la plus celebre : elle apparait naturellement dans de nombreux phenomenes (taille, poids, notes...) grace au theoreme central limite. C'est un chapitre essentiel du programme de Terminale et du Bac.
Densite de probabilite
- 1Une variable aleatoire continue X prend ses valeurs dans un intervalle de ℝ
- 2Densite f : fonction positive telle que l'integrale sur ℝ vaut 1
- 3P(a ≤ X ≤ b) = integrale de a a b de f(t)dt (aire sous la courbe)
- 4Pour une loi continue : P(X = a) = 0 (probabilite d'une valeur exacte est nulle)
Loi uniforme sur [a, b]
- 1Densite : f(x) = 1/(b−a) pour x ∈ [a, b] et 0 sinon
- 2Toutes les valeurs de l'intervalle sont equiprobables
- 3Esperance : E(X) = (a + b) / 2
- 4Variance : V(X) = (b − a)² / 12
Loi normale N(μ, σ²)
- 1Courbe en cloche (courbe de Gauss), symetrique par rapport a μ
- 2Parametres : μ (esperance = centre) et σ (ecart-type = dispersion)
- 3E(X) = μ et V(X) = σ²
- 4Plus σ est petit, plus la courbe est "resserree" autour de μ
Loi normale centree reduite N(0, 1)
- 1Cas particulier avec μ = 0 et σ = 1
- 2Si X ∼ N(μ, σ²), alors Z = (X − μ)/σ ∼ N(0, 1) (centrer-reduire)
- 3Regle des 68-95-99.7 : P(μ−1σ ≤ X ≤ μ+1σ) ≈ 0.68
- 4P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 0.954 et P(μ−3σ ≤ X ≤ μ+3σ) ≈ 0.997
Theoreme de Moivre-Laplace
- 1Si X ∼ B(n, p) avec n grand, alors X est approximee par N(np, np(1−p))
- 2On centre et reduit : Z = (X − np) / √(np(1−p)) ≈ N(0, 1)
- 3Condition d'application : n ≥ 30 et np ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5
- 4Utile pour calculer P(a ≤ X ≤ b) sans calculer les coefficients binomiaux
Formules cles a retenir
Loi uniforme E(X)
E(X) = (a+b)/2
Centrer-reduire
Z = (X−μ)/σ
Regle 68-95-99.7
P(|μ±1σ|) ≈ 68%
Moivre-Laplace
B(n,p) ≈ N(np, npq)
Regle empirique de la loi normale
68%
des valeurs dans [\u03BC\u2212\u03C3 ; \u03BC+\u03C3]
95.4%
des valeurs dans [\u03BC\u22122\u03C3 ; \u03BC+2\u03C3]
99.7%
des valeurs dans [\u03BC\u22123\u03C3 ; \u03BC+3\u03C3]
Astuces pour le Bac
- Pour la loi normale, pense toujours a centrer-reduire : Z = (X\u2212\u03BC)/\u03C3 pour utiliser les tables ou la calculatrice.
- P(X = a) = 0 pour une loi continue ! Donc P(X \u2264 a) = P(X < a).
- La symetrie de la courbe de Gauss donne : P(X \u2264 \u03BC\u2212a) = P(X \u2265 \u03BC+a).
- Sur la calculatrice : normalCdf(a, b, \u03BC, \u03C3) pour P(a \u2264 X \u2264 b) et invNorm(p, \u03BC, \u03C3) pour trouver le seuil.
Exercices d'entrainement
Exercice 1
Le temps d'attente a un guichet suit une loi uniforme sur [0, 20] (en minutes). Calculer la probabilite d'attendre entre 5 et 12 minutes. Calculer E(X) et σ(X).
Conseil : P(5 ≤ X ≤ 12) = (12−5)/(20−0) = 7/20. E(X) = (0+20)/2 = 10 min. V(X) = 400/12, donc σ = 20/√12.
Exercice 2
Les tailles des adultes suivent une loi N(170, 100) (en cm, donc σ = 10 cm). Quelle est la probabilite qu'un adulte mesure entre 160 et 180 cm ? Plus de 190 cm ?
Conseil : P(160 ≤ X ≤ 180) = P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0.68. Pour P(X > 190), centrer-reduire : Z = (190−170)/10 = 2, puis P(Z > 2) ≈ 0.023.
