Qu'est-ce que le second degré en première ?

Le second degré désigne les fonctions polynômes de degré 2, de la forme ax² + bx + c. On étudie leurs racines, leur signe et leur factorisation.

Comment calculer le discriminant d'une équation du second degré ?

Le discriminant Δ se calcule avec la formule Δ = b² - 4ac, où a, b et c sont les coefficients de l'équation ax² + bx + c = 0.

Que faire si le discriminant est négatif ?

Si Δ < 0, l'équation n'a pas de solution réelle. Le trinôme est alors toujours du signe de a.

Comment factoriser un trinôme du second degré ?

Si Δ ≥ 0, on peut factoriser : a(x - x₁)(x - x₂) si Δ > 0, ou a(x - x₀)² si Δ = 0, où x₁, x₂ sont les racines.

Comment déterminer le signe d'un trinôme du second degré ?

On utilise les racines et le signe de a : à l'extérieur des racines, le trinôme a le signe de a ; entre les racines, le signe contraire (si Δ > 0).

Le second degré est-il important pour le bac ?

Oui, c'est une notion fondamentale en maths première. Elle apparaît dans de nombreux exercices et problèmes du bac.

Second degré en première : tout comprendre pour réussir

Q: Que faire si le discriminant est négatif ?

Si Δ < 0, l'équation n'a pas de solution réelle. Le trinôme est alors toujours du signe de a.

Q: Comment factoriser un trinôme du second degré ?

Si Δ ≥ 0, on peut factoriser : a(x - x₁)(x - x₂) si Δ > 0, ou a(x - x₀)² si Δ = 0, où x₁, x₂ sont les racines.

Bienvenue dans cet article dédié au second degré en première ! Que tu sois en voie générale ou technologique, cette notion est un pilier des maths au lycée. Elle te servira pour le bac, mais aussi dans la vie courante (physique, économie...). Pas de panique : on va décortiquer ensemble les équations du second degré, le discriminant, le signe du trinôme, avec des exemples concrets. Prêt à devenir un as du second degré ? C'est parti !

Qu'est-ce qu'une fonction polynôme du second degré ?

Commençons par les bases. Une fonction polynôme du second degré s'écrit sous la forme :

f(x) = ax² + bx + c, avec a ≠ 0.

Les coefficients a, b, c sont des nombres réels. Le terme a est le coefficient dominant (celui de x²), b est le coefficient de x, et c est la constante. Par exemple, f(x) = 2x² - 3x + 1 est une fonction du second degré avec a=2, b=-3, c=1.

Ce type de fonction a une courbe appelée parabole. Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut (forme de U) ; si a < 0, elle est tournée vers le bas (forme de ∩). Comprendre cette forme t'aidera à visualiser le signe du trinôme.

Résoudre une équation du second degré

Résoudre l'équation ax² + bx + c = 0, c'est trouver les valeurs de x (appelées racines) qui annulent le polynôme. Pour cela, on utilise le discriminant noté Δ (delta).

Le discriminant Δ

Δ = b² - 4ac. Selon la valeur de Δ, trois cas se présentent :

Δ > 0 : deux solutions réelles distinctes : x₁ = (-b - √Δ) / (2a) et x₂ = (-b + √Δ) / (2a).
Δ = 0 : une solution réelle double : x₀ = -b / (2a).
Δ < 0 : pas de solution réelle (mais deux solutions complexes, hors programme de première).

Exemple : Résous 2x² - 3x + 1 = 0. Ici a=2, b=-3, c=1. Δ = (-3)² - 4*2*1 = 9 - 8 = 1 > 0. Donc deux solutions : x₁ = (3 - 1)/4 = 0.5, x₂ = (3 + 1)/4 = 1. Vérifie : 2*(0.5)² - 3*0.5 + 1 = 0.5 - 1.5 + 1 = 0, et 2*1² - 3*1 + 1 = 2 - 3 + 1 = 0. C'est bon !

Signe du trinôme et factorisation

Le signe de ax² + bx + c dépend des racines et du signe de a. Voici la règle :

Si Δ > 0 : le trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe contraire entre les racines.
Si Δ = 0 : le trinôme est du signe de a pour tout x ≠ x₀, et nul en x₀.
Si Δ < 0 : le trinôme est toujours du signe de a (car il ne s'annule jamais).

La factorisation : si Δ ≥ 0, on peut factoriser : ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂) (si Δ > 0) ou a(x - x₀)² (si Δ = 0).

Exemple : Factorise 2x² - 3x + 1. On a trouvé x₁=0.5, x₂=1, donc 2x² - 3x + 1 = 2(x - 0.5)(x - 1).

Exemple type bac : étude d'une fonction du second degré

Voici un exercice typique de première : soit f(x) = -x² + 4x - 3.

Détermine les racines de f.
Donne le signe de f(x) selon x.
Factorise f(x).

Correction :

a=-1, b=4, c=-3. Δ = 4² - 4*(-1)*(-3) = 16 - 12 = 4 > 0. Racines : x₁ = (-4 - 2)/(-2) = 3, x₂ = (-4 + 2)/(-2) = 1.
a < 0, donc f(x) est négatif à l'extérieur des racines (x < 1 ou x > 3) et positif entre les racines (1 < x < 3).
Factorisation : f(x) = -1(x - 1)(x - 3) = -(x - 1)(x - 3).

Ce genre d'exercice tombe régulièrement au bac. Pour t'entraîner, consulte les exercices sur Allolycee.

Conseils pour réussir le second degré

Maîtrise le calcul de Δ : une erreur de signe et tout est faux. Entraîne-toi avec des exemples variés.
Apprends les formules par cœur : les racines, le signe, la factorisation. Fais des fiches.
Utilise la calculatrice pour vérifier, mais ne compte pas uniquement sur elle.
Révise avec des annales : les sujets de bac contiennent souvent des équations du second degré. Rends-toi sur AlloAnnales pour t'entraîner.
Demande de l'aide si tu bloques : les cours en ligne sur Allolycee peuvent t'aider.

Aller plus loin : le second degré dans les autres matières

Le second degré n'est pas que théorique. En physique, il sert à modéliser des trajectoires (chute libre). En SES, pour des fonctions de coût. En SVT, pour des croissances de population. Maîtriser cette notion te sera utile dans bien des domaines. Pour approfondir, explore les ressources maths sur notre site.

Conclusion

Tu vois, le second degré n'est pas si sorcier ! Avec de la pratique et une bonne méthode, tu réussiras à résoudre n'importe quelle équation du second degré. N'oublie pas : les maths, ça se travaille régulièrement. Alors, à toi de jouer ! Et si tu as besoin d'un coup de pouce, AlloBac est là pour t'accompagner.