Spécialité Terminale
Mécanique
Mouvements dans un champ uniforme, satellites, lois de Kepler et mécanique céleste.
Mouvement dans un champ uniforme
Un champ uniforme est un champ dont les caractéristiques (direction, sens, valeur) sont les mêmes en tout point de l'espace.
Champ de pesanteur
Près de la surface terrestre, g⃗ est uniforme :
g⃗ = -g·u⃗z
g ≈ 9,8 m/s²
Champ électrique
Entre deux plaques parallèles :
E⃗ = U/d
U : tension, d : distance
Équations du mouvement
Application de la 2ème loi de Newton : ΣF⃗ = m·a⃗
→ L'accélération est constante dans un champ uniforme
Mouvement d'un projectile
Un projectile lancé avec une vitesse initiale v⃗₀ dans le champ de pesanteur décrit une trajectoire parabolique.
Équations horaires
Position :
x(t) = v₀·cos(α)·t
z(t) = v₀·sin(α)·t - ½gt²
Vitesse :
vx(t) = v₀·cos(α)
vz(t) = v₀·sin(α) - gt
Portée
Distance horizontale maximale :
P = v₀²·sin(2α)/g
Max pour α = 45°
Flèche
Altitude maximale :
H = v₀²·sin²(α)/(2g)
Mouvement des satellites
Un satellite en orbite circulaire est soumis uniquement à la force gravitationnelle. Son mouvement est circulaire uniforme.
Force gravitationnelle :
F = G·M·m/r²
G = 6,67×10⁻¹¹ N·m²/kg²
Vitesse orbitale
v = √(GM/r)
r = RT + h (rayon orbite)
Période de révolution
T = 2π√(r³/GM)
Découle de v = 2πr/T
Satellite géostationnaire : T = 24h, orbite équatoriale, altitude ≈ 36 000 km
Les lois de Kepler
1ère loi : Loi des orbites
Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un foyer.
2ème loi : Loi des aires
Le segment Soleil-planète balaie des aires égales en des temps égaux.
→ La planète va plus vite au périhélie (proche du Soleil)
3ème loi : Loi des périodes
Le carré de la période est proportionnel au cube du demi-grand axe :
T²/a³ = 4π²/(GM)
Constante pour tous les corps orbitant autour de M
Énergie mécanique d'un satellite
Énergie cinétique
Ec = ½mv²
= GMm/(2r)
Énergie potentielle
Ep = -GMm/r
Ep < 0
Énergie mécanique
Em = -GMm/(2r)
Em < 0
Interprétation : Em < 0 signifie que le satellite est liégravitationnellement. Pour s'échapper, il faudrait lui fournir l'énergie |Em|.
À retenir pour le BAC
- Projectile : trajectoire parabolique, équations horaires x(t) et z(t)
- Satellite : v = √(GM/r) — vitesse indépendante de la masse du satellite
- 3ème loi de Kepler : T² = 4π²a³/(GM)
- Énergie satellite : Em = -GMm/(2r) < 0
