Systemes d'équations
Resolution par substitution et par combinaison
Definition
Qu'est-ce qu'un système ?
Un système d'équations est un ensemble de plusieurs équations a plusieurs inconnues. La solution doit verifier simultanement toutes les équations.
{ 2x + y = 7
{ x - y = 2
Interpretation graphique
Chaque équation represente une droite. La solution du système correspond au point d'intersection des deux droites.
Méthode par substitution
Principe
- 1Exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation
- 2Substituer cette expression dans l'autre équation
- 3Resoudre l'équation obtenue (une seule inconnue)
- 4Calculer la valeur de l'autre inconnue
Exemple : Substitution
{ 2x + y = 7 ... (1)
{ x - y = 2 ... (2)
Étape 1 : Isoler x dans (2)
x - y = 2 ⟹ x = y + 2
Étape 2 : Remplacer x dans (1)
2(y + 2) + y = 7
2y + 4 + y = 7
3y = 3
y = 1
Étape 3 : Calculer x
x = y + 2 = 1 + 2 = 3
x = 3
Solution : (x = 3 ; y = 1)
Méthode par combinaison
Principe
On multiplie les équations par des coefficients pour eliminer une inconnuepar addition ou soustraction.
Cette méthode est particulierement utile quand aucune inconnue n'est facile a isoler.
Exemple 1 : Coefficients opposes
{ 3x + 2y = 12 ... (1)
{ 2x + 2y = 10 ... (2)
On soustrait (2) a (1) pour eliminer y
(3x + 2y) - (2x + 2y) = 12 - 10
3x - 2x = 2
x = 2
On remplace x = 2 dans (2)
2×2 + 2y = 10
4 + 2y = 10
2y = 6
y = 3
Solution : (x = 2 ; y = 3)
Exemple 2 : Avec multiplication
{ 3x + 2y = 11 ... (1)
{ 5x - 3y = 7 ... (2)
On elimine y : multiplier (1) par 3 et (2) par 2
(1) × 3 : 9x + 6y = 33
(2) × 2 : 10x - 6y = 14
On additionne
9x + 10x = 33 + 14
19x = 47
x = 47/19
On calcule y dans (1)
3 × (47/19) + 2y = 11
2y = 11 - 141/19 = 68/19
y = 34/19
Solution : (x = 47/19 ; y = 34/19)
Quelle méthode choisir ?
Substitution
Privilegier quand :
- • Une inconnue a un coefficient 1 ou -1
- • Une inconnue est déjà isolee
- • Les coefficients sont "compliques"
Combinaison
Privilegier quand :
- • Les coefficients sont similaires
- • On peut facilement obtenir des coefficients opposes
- • Les deux inconnues sont "melangees"
Points cles a retenir
- La solution doit verifier les deux équations simultanement
- Substitution : exprimer puis remplacer
- Combinaison : multiplier puis additionner/soustraire
- Toujours verifier la solution dans les deux équations
