Intervalles et ensembles
Notation des intervalles, bornes, union et intersection
Definition
Qu'est-ce qu'un intervalle ?
Un intervalle est un ensemble de nombres reels compris entre deux bornes. On utilise des crochets pour noter les intervalles.
Crochet ferme [ ou ]
La borne est incluse
Correspond a ≤ ou ≥
Crochet ouvert ] ou [
La borne est exclue
Correspond a < ou >
Types d'intervalles
| Notation | Signification | Exemple |
|---|---|---|
| [a ; b] | a ≤ x ≤ b (bornes incluses) | [2 ; 5] contient 2, 3, 4, 5 |
| ]a ; b[ | a < x < b (bornes exclues) | ]0 ; 1[ ne contient ni 0 ni 1 |
| [a ; b[ | a ≤ x < b | [0 ; 5[ contient 0 mais pas 5 |
| ]a ; b] | a < x ≤ b | ]0 ; 5] contient 5 mais pas 0 |
| ]-∞ ; a] | x ≤ a | Tous les reels ≤ a |
| ]-∞ ; a[ | x < a | Tous les reels < a |
| [a ; +∞[ | x ≥ a | Tous les reels ≥ a |
| ]a ; +∞[ | x > a | Tous les reels > a |
| ℝ = ]-∞ ; +∞[ | Tous les reels | L'ensemble des reels |
Attention !
Les symboles -∞ et +∞ ne sont pas des nombres. Ils ne peuvent jamais être inclus dans un intervalle (toujours avec un crochet ouvert).
Operations sur les intervalles
Union (∪)
L'union de deux intervalles est l'ensemble des elements qui appartiennent a l'un ou l'autre (ou aux deux).
[1 ; 4] ∪ [3 ; 6] = [1 ; 6]
Intersection (∩)
L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des elements qui appartiennent a l'un et l'autre simultanement.
[1 ; 4] ∩ [3 ; 6] = [3 ; 4]
Exemple 1 : Union d'intervalles
Calculer [-2 ; 3] ∪ [1 ; 5]
Les deux intervalles se chevauchent entre 1 et 3.
L'union va du minimum (-2) au maximum (5).
[-2 ; 3] ∪ [1 ; 5] = [-2 ; 5]
Exemple 2 : Intersection d'intervalles
Calculer ]-∞ ; 4] ∩ [2 ; +∞[
On cherche les nombres qui sont a la fois ≤ 4 ET ≥ 2.
Ce sont les nombres entre 2 et 4.
]-∞ ; 4] ∩ [2 ; +∞[ = [2 ; 4]
Exemple 3 : Intervalles disjoints
Calculer [1 ; 3] ∩ [5 ; 8]
Ces intervalles n'ont aucun element en commun.
[1 ; 3] ∩ [5 ; 8] = ∅ (ensemble vide)
Appartenance a un intervalle
Notation
- x ∈ I signifie "x appartient a l'intervalle I"
- x ∉ I signifie "x n'appartient pas a l'intervalle I"
Exemples
3 ∈ [1 ; 5]
3 est entre 1 et 5
0 ∉ ]0 ; 2[
0 est exclu (crochet ouvert)
-5 ∈ ]-∞ ; 0]
-5 est ≤ 0
2 ∉ ]2 ; 4]
2 est exclu a gauche
Points cles a retenir
- Crochet ferme [ ] : borne incluse (≤ ou ≥)
- Crochet ouvert ] [ : borne exclue (< ou >)
- ±∞ toujours avec un crochet ouvert
- Union (∪) : l'un OU l'autre ; Intersection (∩) : l'un ET l'autre
