Factorisation et équations produit
Identites remarquables et propriete du produit nul
Propriete fondamentale
Produit nul
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul.
A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0
Pourquoi c'est utile ?
Cette propriete permet de transformer une équation compliquee en plusieurs équations simples ! Si on arrive a factoriser, on peut resoudre facilement.
Identites remarquables
Carre d'une somme
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Exemple : (x + 3)² = x² + 6x + 9
Carre d'une difference
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Exemple : (x - 5)² = x² - 10x + 25
Difference de deux carres
(a + b)(a - b) = a² - b²
Exemple : (x + 2)(x - 2) = x² - 4
Sens de lecture
Developpement →
(a + b)² devient a² + 2ab + b²
← Factorisation
a² + 2ab + b² devient (a + b)²
Equations produit
Exemple 1 : Equation déjà factorisee
Resoudre : (2x - 3)(x + 5) = 0
(2x - 3)(x + 5) = 0
// Un produit nul ⟹ un facteur nul
2x - 3 = 0 ou x + 5 = 0
x = 3/2 ou x = -5
Solutions : S = {3/2 ; -5}
Exemple 2 : Factoriser d'abord avec a² - b²
Resoudre : x² - 9 = 0
x² - 9 = 0
// On reconnait a² - b² avec a = x et b = 3
x² - 3² = 0
(x - 3)(x + 3) = 0
// Produit nul
x - 3 = 0 ou x + 3 = 0
x = 3 ou x = -3
Solutions : S = {3 ; -3}
Exemple 3 : Facteur commun
Resoudre : x² - 5x = 0
x² - 5x = 0
// On factorise par x
x(x - 5) = 0
// Produit nul
x = 0 ou x - 5 = 0
x = 0 ou x = 5
Solutions : S = {0 ; 5}
Exemple 4 : Avec un carre parfait
Resoudre : x² - 6x + 9 = 0
x² - 6x + 9 = 0
// On reconnait (a - b)² avec a = x et b = 3
(x - 3)² = 0
// Un carre est nul ssi la base est nulle
x - 3 = 0
x = 3
Solution unique : S = {3}
Méthode generale
Pour resoudre une équation produit
- 1
Mettre l'équation sous la forme ... = 0
Tout ramener du même cote
- 2
Factoriser
Utiliser les identites remarquables ou chercher un facteur commun
- 3
Appliquer la propriete du produit nul
Resoudre chaque facteur = 0 separement
- 4
Conclure
Rassembler toutes les solutions
Points cles a retenir
- A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a - b)² = a² - 2ab + b²
- a² - b² = (a + b)(a - b)
