1. La dérivée de la fonction f(x) = 5 est f'(x) = 5.

Exact. La dérivée d'une constante est toujours nulle. Donc si f(x) = 5, alors f'(x) = 0.

2. Si f'(x) > 0 sur un intervalle I, alors f est strictement croissante sur I.

Vrai. C'est le lien fondamental entre le signe de la dérivée et le sens de variation : f' > 0 implique f croissante.

3. La fonction f(x) = |x| est dérivable en 0.

Vrai, elle n'est pas dérivable en 0. La fonction valeur absolue présente un point anguleux en 0, les taux d'accroissement à gauche et à droite ne convergent pas vers la même limite.

4. Pour toute fonction f dérivable, (f²)' = 2f'.

Faux. La formule correcte est (f²)' = 2f × f'. On applique la dérivée d'une composée : (u²)' = 2u × u' avec u = f(x).

5. La dérivée de f(x) = 3x² - 2x + 1 est f'(x) = 6x - 2.

Vrai. On dérive terme à terme : (3x²)' = 6x, (-2x)' = -2, (1)' = 0. Donc f'(x) = 6x - 2.

6. Si f admet un extremum local en a, alors nécessairement f'(a) = 0.

Faux. La condition f'(a) = 0 est nécessaire seulement si f est dérivable en a. Un extremum peut exister en un point où la fonction n'est pas dérivable (ex : point anguleux).

7. La fonction f(x) = 1/x est dérivable sur ℝ* et sa dérivée est f'(x) = -1/x².

Vrai. Pour x ≠ 0, la dérivée de 1/x est bien -1/x². C'est une formule usuelle à connaître.

8. La dérivée d'une fonction paire est toujours une fonction impaire.

Vrai. Si f est paire (f(-x)=f(x)), en dérivant on obtient -f'(-x)=f'(x), donc f'(-x) = -f'(x), ce qui signifie que f' est impaire.

9. Pour f(x) = sin(x), on a f'(0) = 1.

Vrai. La dérivée de sin est cos. Donc f'(x) = cos(x) et cos(0) = 1.

10. Si f et g sont dérivables, alors (f × g)' = f' × g'.

Faux. La formule correcte est (f × g)' = f' × g + f × g'. C'est la règle de dérivation d'un produit.