1. Pour une fonction f définie sur ℝ, que représente f'(a) ?

Bonne réponse : Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.

Exact. f'(a) est le coefficient directeur de la tangente. En Première, c'est la définition géométrique principale.

2. Quelles sont les formules de dérivation correctes pour des fonctions u et v dérivables sur un intervalle I ?

Bonne réponse : (u + v)' = u' + v' — (u / v)' = (u'v - uv') / v² — (k u)' = k u' où k est une constante

Oui. (u+v)' = u'+v', (u/v)' = (u'v - uv')/v², et (k u)' = k u' sont exactes. (u×v)' = u'v + uv', pas u'×v'.

3. Si f(x) = 3x² - 5x + 2, quelle est sa dérivée f'(x) ?

Bonne réponse : 6x - 5

Correct. La dérivée de 3x² est 6x, celle de -5x est -5, et la constante 2 a pour dérivée 0.

4. Pour quelle(s) valeur(s) de x la fonction g(x) = x³ - 3x² + 4 a-t-elle une tangente horizontale ?

Bonne réponse : x = 2

Oui. g'(x) = 3x² - 6x. Tangente horizontale quand g'(x) = 0, soit 3x(x-2)=0, donc x=0 ou x=2. Seul x=2 est proposé.

5. La dérivée de h(x) = (2x+1)/(x-3) est :

Bonne réponse : h'(x) = -7/(x-3)² — h'(x) = (2(x-3) - (2x+1))/(x-3)²

Exact. Avec u=2x+1 et v=x-3, (u/v)' = (u'v - uv')/v² = (2(x-3) - (2x+1)*1)/(x-3)² = (-7)/(x-3)².

6. Si f est dérivable et f'(x) > 0 sur un intervalle I, alors :

Bonne réponse : f est strictement croissante sur I.

Oui. Si f'(x) > 0 sur I, f est strictement croissante sur I. Cela ne dit rien sur le signe de f ni sur l'existence d'un extremum.

7. Quelle est la dérivée de k(x) = √x ?

Bonne réponse : k'(x) = 1/(2√x) — k'(x) = x^{-1/2}

Exact. √x = x^{1/2}, sa dérivée est (1/2)x^{-1/2} = 1/(2√x). Les deux écritures sont équivalentes.

8. Pour une fonction f dérivable, si f'(c) = 0 et f' change de signe en c, alors :

Bonne réponse : f admet un extremum local en c. — La tangente en c est horizontale.

Oui. f'(c)=0 donne une tangente horizontale. Si f' change de signe en c, f admet un extremum local (maximum ou minimum).

9. La dérivée de m(x) = e^x (fonction exponentielle) est :

Bonne réponse : m'(x) = e^x

Correct. La fonction exponentielle est sa propre dérivée : (e^x)' = e^x. C'est une propriété fondamentale vue en Première.

10. Si f(x) = x² sin(x), quelle expression correspond à f'(x) ?

Bonne réponse : 2x sin(x) + x² cos(x)

Exact. Applique (u×v)' = u'v + uv' avec u=x² (u'=2x) et v=sin(x) (v'=cos(x)). Donc f'(x) = 2x sin(x) + x² cos(x).